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哥廷根曾是寰宇数学的中心，被誉为数学圣地。本文将主要先容哥廷根数学派系的历史，包括柏林大学数学的兴起对学术研究的谈理，郑重于黎曼失掉之后和克莱因之前多位伟大数学家的孝顺与影响。哥廷根数学发展受多种要素影响，历经改造，其发展历程展示了数学发展与大学、东谈主才、战略等方面的雅致琢磨。

撰文 | 王涛

哥廷根数学派系的兴起号称是数学史上最为灿艳的篇章之一，在20世纪的前30年里，哥廷根这座不起眼的小城完全是寰宇数学的中心，被誉为数学圣地，很是学的“麦加”之称。伟大的数学传统、浓厚的学术氛围使每一个数学东谈主烂醉，而哥廷根数学的东谈主和事更是一谈靓丽的样式线。

哥廷根数学的伟大传统，为高斯（C.F. Gauss，1777-1855）创举。其继任者皆是德国最有声望的数学家，如狄利克雷（P.G.L. Dirichlet，1805-1859）和黎曼（G.F.B. Riemann，1826-1866）。天然他们鼓励了高斯的奇迹，但和高斯雷同，他们皆未能给哥廷根带来黄金岁月。不仅如斯，1866年，跟着19世纪最富独创性的数学家黎曼的失掉，哥廷根大学的数学参加了一段相对比较贫穷的时期。而与此同期，德国简直悉数的大学——莱比锡、哥尼斯堡、埃尔朗根、波恩——皆有知名的数学辅导。在克莱因（F. Klein，1849-1925）1886年到达哥廷根大学之前，哥廷根大学并不具有上风，数学辅导席位一度空白以致找不到恰当的替代者，这与其时柏林大学数学东谈主才济济、兴旺阐扬的场面造成了显豁的对比。

哥廷根数学传统的缔造者、被誉为数学王子的高斯（1777-1855）

高斯的继任者——狄利克雷（1805-1859），他曾先后在柏林大学和哥廷根大学任辅导

狄利克雷的继任者、高斯的清脆弟子黎曼（1826-1866），曾随从狄利克雷在柏林学习过一段时候

柏林大学数学的兴起

19世纪中世的德果断远不是一个长入的国度，而是分为万里长征的邦国。哥廷根位于汉诺威王国内，柏林位于普鲁士王国内。其中普鲁士柏林大学的兴起完全值得一提。

1806年第四次反法同盟失败，作为同友邦之一的普鲁士简直拔本塞源，不久，柏林也灭尽。拿破仑凶残地对待了普鲁士，这使得普鲁士发誓要报仇。施泰因、哈登堡、洪堡从政事、经济、军事和莳植各个方靠近普鲁士进行了校正，其中莳植校恰是重中之重。1809年，诞生于波茨坦贵族家庭的威廉•冯•洪堡（Wilhelm von Humboldt，1767-1835）出任普鲁士莳植文化部部长，掌管普鲁士悉数的莳植文化事务，在一霎的任期内，洪堡校正了普鲁士引以为傲的莳植轨制。洪堡建立了新的莳植轨制，设初等莳植、中等莳植和高档莳植三个脉络；遴聘新的教学法，规则只须受过磨练的及格西席才能任教。不少德国顶级数学家皆曾在中学任教，包括晚年被视为德果断民族袼褙的魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass，1815-1897），其时好多效果皆需要他拍板才能获取招供，比如1882年林德曼（C.L.F. Lindemann，1852-1939）证明π的卓绝性。

亚历山大•冯•洪堡（1769-1859）

洪堡的莳植校正得到了普鲁士国王威廉三世的支执，威廉三世不仅接受了洪堡的提议，以致不吝将豪华的王宫——海因利希宫孝顺出来作校舍，筹建一所要点大学。就这么，一是以国王的名字——弗里德里希•威廉定名的大学成立了，这等于咫尺知名的柏林大学。国王威廉三世以致用我方的家底每年为柏林大学拨款15万塔勒。其时他给辅导们说谈：“这个国度必须用它精神上的力量来弥补它物资上的损失，……，莳植不仅不会使国度艰苦，相背莳植是开脱空乏的最佳技术！”

由于洪堡广大的孝顺，柏林大学也被称为“洪堡大学”。

在柏林大学的创办和发展经过中，亚历山大•冯•洪堡(Alexander von Humboldt，1769-1859)施展了迫切的作用。亚历山大•冯•洪堡是威廉•冯•洪堡的弟弟，知名的天然科学家和探险家。他是寰宇上第一个大学地舆系——柏林大学地舆系的首任系主任。亚历山大•冯•洪堡相称心爱数学，对德国数学界的影响很大。比如，1826年他曾给年青的狄利克雷写过推选信，推选他到柏林大学任职；匡助雅克比（C.G.J. Jacobi，1804-1851）争取过津贴，还与克罗内克（L. Kronecker，1823-1891）谙习；此外，他还匡助过高斯、史坦纳（Steinner，1796-1863）和库默尔（E.E. Kummer，1810-1893）任辅导等职位。为了记挂这位伟大的科学家，柏林大学于1860年确立了知名的洪堡基金。得到资助的学者一般被称为洪堡学者，我国有不少学者皆曾得到过洪堡基金的资助。

这所比哥廷根大学创办晚75年的柏林大学赋予了大学以新的含义——学术研究。大学的谈理不仅在于教学，还在于科学研究，探求真谛，这等于柏林大学的理念，这一理念代表着新式大学的发展处所。与地谈由普鲁士东谈主建立的新式研究型大学比较，由英国东谈主建立的哥廷根大学似乎更留意名流莳植，这点在高斯身上体现得大书特书。但不论怎么说，19世纪30年代柏林大学认真有了数学系，狄利克雷被聘为柏林大学的辅导。

哥廷根数学的阵痛

柏林大学的兴起是普鲁士悉数这个词国度兴旺阐扬的一个缩影。普鲁士冉冉地苍劲起来并试图完成时期赋予它的职责——松手德国分裂的场面。从哥廷根大学毕业的普鲁士首相俾斯麦启动了德果断铁与血的长入。1866年，也等于黎曼失掉的那一年，普奥干戈爆发并以《布拉格和约》而告终，战时协助奥地利的汉诺威被普鲁士吞并，哥廷根大学的地位一落千丈。而与之相背，柏林则从普鲁士这个邦国的皆门一跃成为北德果断联邦的皆门，5年之后，柏林又成为悉数这个词德果断联邦的皆门，柏林大学的地位得到了极大的普及。有一件事能响应出柏林关于哥廷根的数学上风，黎曼失掉后哥廷根曾试图礼聘柏林大学的克罗内克，但克罗内克婉词谢绝了，原因是柏林的学习、工作、生计环境使克罗内克感到得意。其实不仅如斯，柏林大学的数学在魏尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克的引诱下还是发展到一个很是的脉络，在函数论、数论、几何基础处所皆有很强的实力，而况造成了一个派系，这等于数学史上知名的柏林派系。

但阵痛事后哥廷根终于迎来了我方的色泽，这一色泽缔造出一个新的派系——哥廷根派系。到19世纪末期，跟着柏林三巨头的失掉，柏林大学的上风冉冉丧失，到20世纪初，时局还是完全逆转过来了。1902年，跟着富克斯（I.L. Fuchs，红色av社区1833-1902）的失掉，柏林大学试图礼聘哥廷根的希尔伯特（D. Hilbert，1862-1943）来继任这个位置，希尔伯特不仅拒却了这一任命，相背他还提议克莱因要求德果断莳植文化部部长阿尔谈夫（F. Althoff，1839-1908）在哥廷根增设一个数学辅导席位，而况礼聘他的好友闵科夫斯基（H. Minkowski，1864-1909）来担任这个位置，这一提议也被阿尔谈夫摄取。克莱因与阿尔谈夫阐明于普法干戈（1870-1871年），他们彼此相称尊重对方。由于这层关系的存在，阿尔谈夫相称支执哥廷根数学的发展，这么到了1902年，哥廷根在数学辅导的数目上也赶上和跨越了柏林大学，由此哥廷根数学启动了简直谈理上的黄金时期。

柏林三巨头。从左至右：魏尔斯特拉斯（1815-1897）是柏林派系的首长，在德国享有广大的威信；克罗内克的诚实库默尔（1810-1893）；直观办法的前驱——克罗内克（1823-1891）

哥廷根色泽的缔造者——希尔伯特（1862-1943）

在大批形容哥廷根数学的贵府中，过多的翰墨留在了高斯、狄利克雷、黎曼、克莱因和希尔伯特那儿。然则黎曼1866年失掉之后的继任者是谁？在克莱因1886年到哥廷根任辅导之前，哥廷根的数学又是怎么发展的呢？

哥廷根色泽的缔造者——克莱因（1849-1925）

黎曼的继任者——克莱布什男女性爱视频

克莱布什（A. Clebsch，1833-1872）生于东普鲁士的哥尼斯堡，1850年入哥尼斯堡大学，深受两位诚实黑塞（Hesse）和里奇劳特（F. Richelot）的影响，他们皆是雅克比的学生。本色上，克莱布什从未与雅克比谋面，因为雅克比在他入学后第二年（1851年）就失掉了，但克莱布什通过网罗雅克比的全集而受到了雅克比的影响。1854年克莱布什到柏林深造。1858年到1863年在卡尔斯鲁厄（Karlsruhe）任表面力学辅导，其后又在吉森（Giessen）任数学辅导。1868年克莱布什移居哥廷根，成为黎曼的继任者。同庚，他与纽曼（C.G. Neumann，1832-1925）沿路创办了一份迫切的数学杂志《数学年刊》（Mathematische Annalen），这是一份相称有影响的杂志，希尔伯特从1902年起一直担任该刊的主编。

克莱布什（1833-1872）

克莱布什早期工作的赞佩在数学物理方面，他对变分法和微分方程也有研究，但克莱布什最主要的工作是代数几何。代数几何是19世纪最伟大的数学创造之一，100多年来已发展成为数学的中枢部分，它与所很是学分支皆有着密弗成分的琢磨并推动着它们的发展。代数几何学的研究对象是由多项式方程或方程组所界说的代数簇。代数簇的特殊情形是代数弧线和代数曲面。

克莱布什研究的主如果复数域上的代数弧线和代数曲面。代数几何的中心问题是分类，19世纪中世代数弧线的分类由黎曼所奠定，并由克莱布什秉承。为了对弧线进行分类，克莱布什初度引入连通、亏格等意见，证明了一系列琢磨定理。克莱布什明确指出，代数几何学研究双有理变换过头不变量，而他本东谈主恰是以这种不雅点研究代数弧线和代数曲面的。

克莱布什独创了德国的代数几何派系，他和黎曼被称为是经典代数几何的奠基东谈主。他的学生布瑞尔（A.W.V. Brill，1842-1935）和M. 诺特（M. Nother，1844-1921）秉承发展了克莱布什的想想，他们皆是其时知名的代数几何学家。而M. 诺特恰是数学史上最伟大的女数学家E. 诺特（E. Nother，1855-1935）的父亲，自后E. 诺特来到了哥廷根，在哥廷根数学的发展中施展了弗成臆测的作用。像M. 诺特和E. 诺特这么父女同为隆起数学家的组合在数学史上似乎并未几见。

然则自高斯失掉之后，哥廷根大学的数学辅导似乎中了一个魔咒：其继任者皆没能在这个职位上干多永劫候。狄利克雷在这个位置上只待了4年就失掉了。而其继任者黎曼在担任这个职位3年后感染了胸膜炎，后期一直介意大利养痾。作为黎曼的继任者，克莱布什也没能避免，在他任辅导4年后由于患白喉病而失掉。

数学辅导的频繁更替对哥廷根数学的发展很是不利。

把我方置于危急境地——富克斯

微分方程的代名词——富克斯（1833-1902）

克莱布什的继任者是富克斯，富克斯于1874年来到哥廷根。然则富克斯来到哥廷根大学不到一年，便接受了海德堡大学的任命而离去，这又从侧面证实了哥廷根其时以致与海德堡比较也莫得多大的上风，在康斯坦丝•瑞德《希尔伯特——数学寰宇的亚历山大》（李文林、袁向东译）中对海德堡大学给以了如下挑剔：

海德堡大学是德国悉数大学中最讨东谈主心爱和最豪阔温存色调的学校。

其时的德国大学之间东谈主才可以解放流动，学生可以在第二个学期转到别的学校听课。比较偶合的是，希尔伯特于1881年到海德堡大学听课，富克斯刚好在那儿任教。富克斯的讲课式样融为一体，给希尔伯特留住了很深的印象。富克斯课前一般不作念准备，对要教学的内容老是现讲现推，习气于在课堂上把我方“置于危急的境地”。这如实是一个难得的契机，可以看到一位数学家的想维经过。弗成否定这对希尔伯特有很大影响，以致于自后希尔伯特在哥廷根讲课前也只作念一般的准备，课上有细节诞妄更是常事，然则这更有助于他忽然张开对某个事实的想法。这点与克莱因追求绰绰有余大不疏通，克莱因老是比学生们提前到，以搜检他可能世俗的地方而加以改正。天然他们的叙述皆是经典。

富克斯主要从事的是微分方程方面的研究，他在微分方程方面的广大孝顺使得他成为微分方程的代名词。富克斯在常微分方程的表面方面，作念出了迫切孝顺。他行使超几何级数解线性微分方程，1866年富克斯在他的一篇论文中指出，在奇点邻域内的解可以用级数表出，研究这一问题的表面被称为线性微分方程的富克斯表面。这一表面平直指向了庞加莱（J.H. Poincaré，1854-1912）的自守函数表面，另一方面通过克莱因与椭圆函数论相结伴，并转折地引起了庞加莱与克莱因的竞争。这些问题成为19世纪70-80年代许大批学家研究的主要课题，而且在微分方程表面自己中也饰演着迫切的变装。自守函数中有一类迫切的函数称为富克斯函数。这类函数在一种线性变换的作用下是不变的，这些变换可以造成一个群，叫作念富克斯群，这皆证实富克斯在线性常微分方程方面有着广大的孝顺。

富克斯的继任者——施瓦茨（1875-1892）

施瓦茨（1843-1921）

1875年富克斯离任之后，哥廷根终于迎来了一位在哥廷根任职跨越10年以上的数学辅导——施瓦茨（H.A. Schwarz，1843-1921），施瓦茨对哥廷根有很是的影响。施瓦茨到哥廷根后，凭据他的叙述内容制定了一份详备的策画：起头，先容微分与积分周期秘籍、瓦解几何、二阶曲面、双曲率曲面和轮廓几多么初等内容。然后先容瓦解函数周期秘籍、椭圆函数、极小曲面、超几何级数以及函数论等其他领域。在数学系辅导斯特恩（M.A. Stern，1807-1894）的支执下，1878年数学物理研讨会率先建立一个流动藏书楼，这个藏书楼一直在施瓦茨的处置下，直到他离开哥廷根。跟着乌尔里希（G.K.J. Ulrich，1798-1879）的失掉，他又摄取了数学用具和模子室。咫尺咱们能在哥廷根数学研究所第三层走廊的模子室里看到多达500多件的模子。

施瓦茨的数学成就，主要体咫尺三个方面，永诀是分析学、微分方程和几何学。施瓦茨深受其诚实魏尔斯特拉斯的影响，对函数论情有独钟。尽头是在微分方程方面，施瓦茨在研究二阶线性微分方程的解的结构时，引入了一类线性变换群，这一工作为自守函数研究创造了条款。

一霎的继任者——韦伯（1892-1895）

H. 韦伯（1842-1913）

H. 韦伯（H. Weber，1842-1913）诞生于海德堡，1863年获取海德堡大学博士学位。毕业后韦伯在一系列学校任职，他曾在哥尼斯堡大学任辅导。哥尼斯堡大学的数学因雅克比而著明，从数学史来看，雅克比的名声至少要比咫尺高得多，他被誉为他阿谁时期仅次于高斯的数学家，这也不难意会法国天才数学家伽罗瓦（E. Galois，1811-1832）在临死前一再要求请高斯和雅克比就他研究问题的迫切性公设备表看法。雅克比在数学史上保执着几项记载，他是数学史上最为勉力的数学家；此外，数学参议班轨制亦然由他创造的。参议班是德国数学莳植和科研的一大创造，在德国数学的兴起中饰演着极为迫切的变装，直到今天它仍是数学教学和科研的不二秘诀，寰宇各地也往常依期大致不依期举办多样知名的数学参议班。

韦伯天资极高，多艺多才，在数论和数学物理方面皆作出过迫切的孝顺，算得上是雅克比的传东谈主。而年青的希尔伯特在哥尼斯堡大学学习期间，曾随从他学习过数论和函数论。偶然的是，当1895年韦伯离任去斯特拉斯堡大学任职时，接替他的恰是希尔伯特。

韦伯是第一个给出群抽象界说的数学家，在群论抽象化的经过中起着举足轻重的作用。他最知名的论著是《代数学教程》（Lehrbuch der Algebra），《代数学教程》在很长的一段时候里被看成念了讲义。

哥廷根的其他西席

蒂博（B.F. Thibaut，1775-1832），1797年任哥廷根讲师，1805年任辅导。高斯不擅长教学，莫得若干学生，也莫得东谈主情愿选他的课，而蒂博则与高斯造成了显豁对比，他被誉为哥廷根最佳的讲课诚实，其修辞立场以致可以和歌德比较。蒂博的主要研究领域为微分方程和积分学。他于1832年将一批测地用具和模子捐馈送了学校，到1865年这些用具和模子被挑升放在一个展厅里。这一展厅由乌尔里希负责，经过施瓦茨和希尔伯特的磋议，尽头是克莱因，他以致为模子室拉到了辅助，从而使模子室获取了雄厚的资金支执。这等于咫尺哥廷根数学所第三层走廊里的模子的历史源流。可以遐想，这些模子在曩昔的几何教学乃至科研中施展了多么迫切的作用，如今在Mathematica和Maple等数学软件问世后，这些模子更多的是一种对历史的承载。

哥廷根数学研究所第三层的数学模子

斯特恩，1848年景为全职辅导，这一年启动，哥廷根领有了两个数学辅导席位。此外，斯特恩如故德果断第一个犹太辅导，最早防御到了黎曼的天资，曾协助高斯培养黎曼，克莱因继任的恰是他的位置。严格地说，克莱因并不属于高斯、狄利克雷和黎曼这一辅导席位的秉承东谈主（见完了附录）。

乌尔里希，数学物理参议班的主要参与者之一，哥廷根大学数学用具和模子室的主要负责者，主要研究领域为立体几何、三角学、应用几何、力学和土木建筑。

利斯亭（J.B. Listing，1808-1882），1834年博士毕业于哥廷根，其导师为高斯。1837年，W. 韦伯（W.E. Weber，1804-1891，防御与之前的H. 韦伯不是归拢个东谈主）由于参与了七正人事件而被解职，因此高斯提议利斯亭继任这一职位 (物理系的职位)，尽管其时他莫得发表过一篇著述。在高斯的影响下，他于1848年出书了《拓扑学初步研究》（Vorstu-dien zur Topologie），这是初度在出书物顶用到“拓扑”这个词，尽管在之前的信件中已出现过访佛的词汇。长久以来，这门学科更多被称为位置分析（Analysis Situs），直到20世纪20年代好意思国数学家莱夫谢兹（S. Lefschetz，1884-1972）使用了拓扑学（Topology）这个称呼，这一学科的称呼才固定下来。

莫比乌斯带最早是由利斯亭于1861年发现的，4年后莫比乌斯才对此作了姿色。顺应的名字应该是利斯亭带，咫尺为其正名为时已晚

西林（Ernst Schering，1824-1897），德国数学家，1857年在哥廷根大学获取博士学位，他最知名的工作是对高斯著述的裁剪。

结语

在高斯时期，德国除了高斯除外，仅有少数几个数学家进行着数学研究。这一场面在德果断长入后赶紧得到了改不雅，其时德国数学已处于渊博热潮的景况，其普及性即使法国也弗成比。与这一时期的柏林大学比较，哥廷根数学发展的速率大大过期了，其时哥廷根数学在德国无边的数学研究中心中已莫得多大上风。

天然克莱布什、富克斯、施瓦茨、H. 韦伯在数学史上莫得像高斯、狄利克雷和黎曼那样显耀的地位，但他们在哥廷根数学的发展史上却谢绝漠视。在克莱因到达哥廷根之前，恰是他们搭救了哥廷根数学的发展，而况在函数论、代数几何、微分方程、代数等处所保执了起头。从历史上看，函数论处于19世纪数学的中心性位，简直是评价所很是学家的试金石。许多大数学家在其时之是以了不得，并非是像咱们咫尺以为的那样，而是由于他们在函数论这个领域的隆起工作。雅克比、魏尔斯特拉斯、黎曼、庞加莱更是因为他们对函数论的工作而获取了他们贵重的职位和显耀的名声。

数学发展需要各人，在施瓦茨和韦伯离任后，克莱因有了大施拳脚的契机，他网罗各人，在1895年聘来了希尔伯特，自后的发展证明了他特有的目光，恰是希尔伯特广大的威信，给哥廷根数学带来了无比的声誉。柏林则由于魏尔斯特拉斯的失掉而趋于式微。数学发展需要有很强组织能力的东谈主来引诱，克莱因的行政天才的确实确给哥廷根的数学发展带来了广大的便利，而柏林的克罗内克也为柏林争取过不少利益。

数学的发展还需要战略，需要国度和政府的雄厚支执。德国大学之间充分的东谈主才交流、默契的竞争以及和解的发展，使得哥廷根数学冉冉迎来了我方的色泽。但无可否定，柏林大学19世纪后半叶以及哥廷根数学1886-1933年间的色泽是与德果断文化莳植部的雄厚支执分不开的。终于在1933年之后，跟着纳粹的掌权，哥廷根数学又毁于一朝，于今也莫得复原曩昔的荣耀。

附：哥廷根数学的编制（1800-1900）

哥廷根初期只须一个数学辅导席位，也很少有学生取舍数学来作为他们主要的研究领域。1848年，哥廷根确立了第二个数学辅导席位。

哥廷根数学第一辅导

1807-1855  高斯

1856-1859  狄利克雷

1860-1866  黎曼

1868-1872  克莱布什

1874-1875  富克斯

1875-1892  施瓦茨

1892-1895  H. 韦伯

1895-1930  希尔伯特

哥廷根数学第二辅导

1848-1883  斯特恩

1886-1913  克莱因

作家简介

王涛，河北师范大学数学学士、博士，南边科技大学数学系博士后，中国科学院天然科学史研究所副研究员。

本文经授权转载自微信公众号“数学文化”。

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